Czy układ taki jak Wszechświat można zapisać jednym równaniem? A jeżeli nawet istniałoby takie równanie, to do czego miałoby służyć? Generalnie równania stosujemy w celu określenia stanu pewnego układu w zależności od pewnych warunków początkowych. Rozpatrzmy na przykład równanie:

Pozwala ono uczniowi szkoły podstawowej i średniej wyznaczyć wielkość zwaną drogą w ruchu jednostajnie przyspieszonym przy zadanych wcześniej wielkościach "a" i "t". Mając pewną, wprawę uczeń taki potrafi, mając dane na przykład "s" i "t", znaleźć przyspieszenie ruchu "a".

Niech zatem warunkiem początkowym będzie : a = const., t - dowolne.

Zauważmy, jaką władzę daje to równanie -- uczeń nie tylko wie, co będzie działo się z układem po pierwszej sekundzie, po trzeciej czy za sto lat (przy założeniu, że ma tak dobry kalkulator), ale wie także, co działo się z układem pięć sekund temu, wystarczy bowiem podstawić t = -5 sekund. Słowem, uczeń przy tak sformułowanych warunkach wie o badanym układzie wszystko - zna przeszłość i przyszłość układu. Na marginesie warto zaznaczyć, że sprytniejszy uczeń stosować będzie wartości "t" jednego znaku i także poda prawidłową odpowiedź - wynika to z symetrii równania względem "t".

Taką władzę chcieliby mieć także współcześni nam kosmologowie, czyli fizycy zajmujący się naszym Wszechświatem. Oczywiście równanie to będzie miało, troszeczkę" bardziej skomplikowaną formę, ale i kaliber badanego układu jest większy. Chcemy wiedzieć, jak wyglądał Wszechświat tysiąc milionów lat temu i jaki będzie za sześć miliardów lat.

Czytelnik może powiedzieć, że to bzdura, aby Wszechświat zapisać na kartce papieru. W pewnym sensie jest to prawda, bo na razie nie znamy tego równania, nie wiemy więc, czy zmieści się ono na jednej kartce. Z drugiej jednak strony, drogi Czytelniku, z pewnością korzystałeś z dobrodziejstwa, jakim jest winda elektryczna w wieżowcu, oglądasz przecież telewizję, podłączasz swojego walkmana do gniazdka w ścianie, siedząc leniwie w fotelu przełączasz programy w telewizorze, oglądasz swoje płuca na zdjęciu rentgenowskim czy podgrzewasz hamburgera w kuchence mikrofalowej. Wszystko to zawdzięczasz temu, że prąd elektryczny nierozerwalnie złączony jest z magnetyzmem. Opisany powyżej wachlarz przypadków - na pierwszy rzut oka nie mających ze sobą żadnego związku, daje się zapisać w postaci czterech równań:

Tak wygląda sytuacja w próżni. W równaniach E oznacza pole elektryczne, B - pole magnetyczne, a c - prędkość światła, reszta zaś to "znaki tajemne". Teoretyczne podstawy dla nich podał Faraday, który jednak był nieukiem, jeżeli chodzi o nauki ścisłe. Podstawy te na liczydła wziął Maxwell i ubrał w matematyczną formę - forma ta jednak przerosła treść, gdyż była tak gęsto upstrzona matematyką, że stała się "niestrawna". Dopiero prace Hertza pozwoliły na nadanie teorii elektromagnetyzmu postaci "jadalnej".

Czyż te równania nie są piękne i proste? Okazuje się bowiem, że winda, telewizor i ciepły hamburger wynikają z tych samych równań. O, jakże zwodnicza to prostota !!! Wierzę, iż Czytelnik, który posmakował już rachunku różniczkowego wielu zmiennych oraz teorii pola wektorowego wie jednak, co mam na myśli. Niewtajemniczeni niech nadal podziwiają geniusz Faradaya - Maxwela - Hertza.

Na marginesie, zauważmy jednak jak współczesna fizyka jest zależna od matematyki - mówi się nawet o tym, że fizycy odpowiadają przed matematykami, a matematycy przed Bogiem. Problemem jest jednak fakt, że ponoć nie znaleziono jeszcze tak pokorego matematyka.

Patrząc na równania Faradaya - Maxwella - Hertza można stwierdzić następującą ciekawostkę - otóż gdyby jakimś cudem autor biblijnej Księgi Rodzaju znał rachunek operatorowy i różniczkowy, to w miejsce "Niech stanie się światłość" mógłby podstawić równania FMH, a losy Wszechświata nie zmieniłyby się nawet o jotę.

Po tej nieco filozoficznej refleksji powróćmy do równania Wszechświata. Jak winno ono wyglądać? Jakie składniki potrzebne są do stworzenia materii, czasu, przestrzeni? Stephen Hawking w swej "Krótkiej historii czasu" stwierdza, że choć nie znamy jeszcze ostatecznego kształtu równania, to wiemy, co powinno ono zawierać. Otóż potrzeba, by takie równanie łączyło w sobie dwie rzeczy: ogólną teorię względności i mechanikę kwantową. Proste, nieprawdaż? Dla cierpiących na nadmiar zapału dodam, że ogólna teoria względności wymaga znajomości rachunku tensorowego i umiejętności poruszania się w geometrii nieeuklidesowej, zaś mechanika kwantowa ze swoją zasadą nieoznaczoności Heisenberga wywołuje pewne zaniepokojenie wśród ludzi przywykłych do klasycznej wizji świata. Pisząc "klasycznej" mam na myśli świat Galileusza i Newtona, w którym wszystko jest zdeterminowane i wynika z prostych równań:

Czytelnik może zapytać, skąd wziął się akurat taki dobór składników? Ano stąd, że pierwszy z nich dokładnie opisuje makroświat, a drugi dość dobrze (z dokładnością do zasady nieoznaczoności !) mikroświat. I o ile z większym lub mniejszym powodzeniem obie teorie działają w obecnym Wszechświecie, gdzie odległości między cząsteczkami są dość duże, a energie tychże cząstek małe, co oznacza, że pomijamy efekty grawitacyjne w mechanice cząstek, to we wczesnym Wszechświecie powyższe efekty miały znaczny wpływ na przebieg ewolucji.

Modelu, albo równania, które we wczesnym stadium ewolucji łączyłoby w sobie obie teorie, poszukują właśnie fizycy. Celem tego artykułu jest jednak tylko przybliżenie pierwszego składnika równania.

Znane obecnie modele łatwo prowadzą do nieskończoności u progu naszego Wszechświata - w chwili t = 0 zwanej stan-dardowo Wielkim Wybuchem. Pojęcie nieskończoności napawa fizyków odrazą. Dlaczego?. No bo co oznacza, że w pew- nym momencie masa była nieskoń czenie wielka a objętość równa zero? Zresztą, aby uświadomić sobie problemy związane z Wielkim Wybuchem nie trzeba odwoływać się do równań. Spróbujmy bowiem wyobrazić sobie Wielki Wybuch. Nie dajmy jednak zwieść się powszechnej wizji - oto na czarnym tle w pewnym momencie następuje oślepiający błysk i widzimy rozszerzający się bąbel. Nie ma nic bardziej błędnego.

Otóż Wielki Wybuch dał początek wszystkiemu: materii, czasowi, przestrzeni, wobec tego nikt nie mógł go obserwować (chyba że sam Stwórca, który musiał jednak dysponować całkowicie niezależnym układem odniesienia), gdyż dopiero po Wielkim Wybuchu nastąpił rozwój przestrzeni, a wraz z nią wszelkich możliwych układów odniesie- nia. Jest ważne, aby zdać sobie sprawę z istoty tego faktu<%0>. Każda obserwacja musi być dokonana w pewnym układzie odniesienia. Proszę sobie wyobrazić jazdę pociągiem ze stałą prędko ścią w długim ciemnym tunelu. Niezależnie z jak wielką prędkością będziemy się poruszać nie odczujemy jej, dopóki nie wyjrzymy przez okno aby, na przykład, obserwować tory kolejowe. Prędkość jest niczym, jeżeli nie ma jej do czego odnieść. Podobnie rzecz ma się z Wielkim Wybuchem. Zobaczmy teraz, jak Einstein opisał nasz świat.

O ogólnej teorii względności napisano całe tomy. Wszechświat według. tej teorii zapisuje się pewnym równaniem tensorowym. Michał Heiler w swej "Kosmicznej przygodzie Człowieka Mądrego" pisze, że ogólna teoria względności kryje w swym wnętrzu nieliniowe ró wnania różniczkowe (tego akurat nie sprawdziłem!), wobec których współczesna matematyka jest jeszcze bezradna - nie ma jeszcze ogólnych metod ich rozwiązywania.

Z kursu matematyki wiadomo, iż każde równanie różniczkowe wymaga określonych warunków początkowych. Dla Wszechświata takim może być np. rozkład materii w przestrzeni (anizotropowy lub nie). Istnieje wiele rozwiązań równań Einsteina w zależności od przyjęt ych warunków początkowych. Czy wiecie, że matematycy to artyści? Malują oni obrazy, których nikt nie widzi i nigdy nie zobaczy. Istnieje bowiem jedno rozwiązanie równania Einsteina podane przez matematyka duńskiego de Sittera, w którym Wszechświat istniej e czasowo i przestrzennie, lecz brakuje w nim... masy! Jest po prostu pusty! Trzeba osiągnąć wysoki stopień matematycznej abstrakcji, by namalować taki obraz.

Dlaczego akurat ogólna teoria względności? Dlatego, że przewidywania teoretyczne wysnute na jej podstawie dość dobrze zgadzają się z obserwacjami. Taką weryfikacją dla tej teorii jest na przykład ruch Merkurego wokół Słońca. Merkury jest najbliżej naszej macierzystej gwiazdy i najbardziej podlega jej grawitacyjnym wpływom, wobec czego w jego ruchu występują pewne zaburzenia. Zaburzeń tych nie przewiduje klasyczna mechanika Newtona, który twierdził, że sam Bóg koryguje czasami swoje mechanizmy. Teoria Eins teina przewiduje zaś takie zaburzenia. Innym testem jest obserwacja gwiazd, które znajdują się za Słońcem. Teoretycznie nie powinny być one widoczne - jednak w czasie całkowitego zaćmienia Słońca są one widoczne. Jest tak, gdyż Słońce zakrzywia grawitacyj nie przestrzeń i biegnące w niej fotony. Czym jest zakrzywienie przestrzeni? Otóż trzeba sięgnąć do podstaw teorii względności - Einstein stwierdził bowiem, że grawitację reprezentuje zakrzywienie czasoprzestrzeni - czyli takiej przestrzeni, w której opró cz trzech wymiarów przestrzennych występuje czwarty wymiar - czas. Po co utrudniać sobie życie czterema wymiarami, wyjaśnimy nieco później.

Na marginesie: jeżeli kogoś przeraża liczba wymiarów, to pragnę dodać, iż pojedyncza cząstka w tak zwanej przestrzeni fazowej, która, używając terminologii matematycznej, jest rozpięta na wektorach pędu i położenia, wymaga aż sześciu wymiarów - trzy na ws półrzędne położenia i trzy na współrzędne pędu.

Przestrzeń i czas połączył w jedno matematyk Minkowski, który powiedział, że czas i przestrzeń traktowane oddzielnie przestałyby istnieć - z tym twierdzeniem spotykamy się w szczególnej teorii względności (do której jeszcze powrócimy). Jak widać, należy o dróżnić teorię szczególną od ogólnej. Obecnie postaram się wyjaśnić zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Niemożliwe jest wyobrażenie sobie zakrzywienia trójwymiarowej przestrzeni, jeszcze gorzej będzie z czterema wymiarami, dlatego posłużymy się dwuwymiarową analogią. Wyobrażmy sobie elastyczną błonę. Umieszczamy na niej masywną kulę. Obecność tej kuli (masy) spowoduje ugięcie błony. Weźmy teraz małe kulki i rzucajmy je w kierunku dużej kuli. Niektóre kulki wpadną do wgłębienia, inne (dysponujące większą prędkością) doznają ugięcia, wreszcie te z bardzo dużą prędkością nie zmienią w ogóle swojego toru. Jak widać, w eksperymencie tym kluczową rolę odgrywają masa dużej kuli i prędkości małych kulek - ważna oczywiście jest także ich masa, ale możemy przecież założyć, że mamy wystarczająco dużo energii do nadania im interesującej nas prędkości. Teraz wystarczy przenieść tę analogię do czterech wymiarów, i po kłopocie.

Takie ugięcie łatwo sobie wyobrazić - jednak wiemy już, że Wszechświat ma więcej wymiarów, dlatego więc uciekamy się do analogii. Z relacji masa kuli - prędkość małych kulek powstaje obiekt zwany "czarną dziurą", zdolny do zakrzywienia toru cząstek poruszających się z prędkością światła. Obiekt ten istotnie jest czarny, gdyż nic nie jest w stanie go opuścić - nawet światło.

Dla tych, którzy przebrnęli ze mną przez zakrzywioną czasoprzestrzeń, mam następną niespodziankę. Otóż Wszechświat nie dość, że ma cztery wymiary, to jeszcze według ogólnej teorii względności ma nieeuklidesową geometrię. Ale powoli.

Geometria znana ze szkoły średniej to geometria płaskiej kartki papieru albo geometria Eulkidesa. Znane są jednak także geometrie nieeuklidesowe, na przykład geometria Łobaczewskiego, której modelem jest powierzchnia siodła (paraboloida hiperboliczna). Badania wskazują, że Wszechświat może mieć taką właśnie geometrię. W geometrii tej trudno jest rozwiązać jakikolwiek trójkąt, gdyż suma kątów wewnętrznych jest mniejsza od 180 stopni, a przez dowolny punkt można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych do danej prostej. Jeżeli między dwoma punktami dowolnej powierzchni rozciągniemy elastyczną gumkę, to gumka ta wskaże nam najkrótszą drogę między tymi punktami, tzw. linię geodezyjną albo geodetykę. Na płaskiej kartce papieru jest to linia prosta, lecz inaczej jest w geometrii nieeuklidesowej. Na powierzchni siodła geodetyką jest pewna krzywa. W zasadzie nie powinno nas to dziwić, gdyż powierzchnia naszej planety ma także geometrię różną od geometrii Euklidesa - na powierzchni Ziemi linią geodezyjną jest przecież łuk, lecz ma on tak duży promień, że dla małych odległości możemy uznać go za prostą. Od tej chwili więc na stwierdzenie: "Najkrótsza droga między dwoma punktami to linia prosta" odpowiadamy: "Owszem, lecz zależy to od przyjętej geometrii"

Powróćmy na chwilę do szczególnej teorii względności. Każdy z nas słyszał o "paradoksie bliźniąt" - o dwóch braciach, z których jeden pozostaje na Ziemi, a drugi żegluje w przestrzeni międzygalaktycznej z przyświetlną prędkością, np. do gwiazdy Proxima Centauri, i wraca. Wtedy bracia spotykają się znowu i ze zdumieniem stwierdzają, że "ziemski" brat jest starszy. Na gruncie szczególnej teorii względności można to wyjaśnić opierając się na geometrii Wszechświata - tym razem geometrii Minkowskiego. Od geometrii Euk1idesa różni ją między innymi metryka. Nie bójmy się matematycznej terminologii - metryka to po prostu wzór, jakim opisuje się odległość. Na przykład metryką płaskiej kartki papieru jest po prostu twierdzenie Pitagorasa. W przypadku geometrii Minkowskiego, metryka obok współrzędnych przestrzennych zawiera także współrzędną czasową i mierzy nie odległość, lecz doświadczalny upływ czasu. "Paradoks bliźniąt" można wytłumaczyć posługując się pojęciem linii świata. Przyjmijmy, że linia świata oznacza właśnie doświadczalny upływ czasu. Popatrzmy teraz na rysunek:

W geometrii Minkowskiego odcinek Ziemia - Proxima Centauri - Ziemia jest KRÓTSZY od odcinka Ziemia - Ziemia. Wobec tego skoro linia świata mierzy doświadczalny upływ czasu, to bliźniak podróżujący istotnie jest młodszy.

Jak widać "paradoks bliźniąt" jest paradoksem tylko dla ludzi myślących kategoriami fizyki Newtona. Fizyka Einsteina potrafi wytłumaczyć poprawnie to zjawisko. To tak jak z liczbą zespoloną "i". Ci, którzy poznali dziedzinę zespoloną traktują ją zupełnie normalnie, natomiast dziedzina rzeczywista w ogóle nie przewiduje takiego przypadku.

Pora wyjaśnić, dlaczego aż cztery wymiary. Michio Kaku w książce pod tytułem "Hiperprzestrzeń" stwierdza, że trzy wymiary to za mało, by stworzyć spójną teorię łączącą kwanty z tensorami. Znacznie więcej miejsca jest w pięciu wymiarach, choć modna ostatnio teoria superstrun wymaga, bagatela, dwudziestu sześciu wymiarów (czymże są więc nędzne cztery wymiary Minkowskiego?). Co właściwie dają dodatkowe wymiary? Autor podaje następującą analogię (ja pozwolę sobie ją zmodyfikować). Załóżmy, że na powierzchni Brzoskwini żyją sobie Brzoskwinianie. Twierdzą oni, że ich świat ma tylko dwa wymiary. Geodetyką dla nich jest linia prosta; my, bryłowcy, wiemy, że jest to krzywa. Lecz pewnego dnia znalazł się Brzoskwinianin, którego zainteresował następujący fakt: co będzie, jeżeli będę szedł nieustannie prosto? Australijczyk odpowie natychmiast: dojdziesz do oceanu. Brzoskwinianin nie zrażony tym faktem wyrusza w podróż i po pewnym czasie, nie znalazłszy obiecanego przez Australijczyka oceanu, wraca do punktu wyjścia. Ergo, Brzoskwinia ma pewną krzywiznę, co oznacza, że musi być zanurzona w przestrzeni co najmniej trójwymiarowej. Będąc geniuszem, bo tylko geniusza nie dziwią fakty rzekomo oczywiste, postanawia wykonać przekop na drugą stronę. Po pewnym czasie, zależnym od spoistości samej Brzoskwini (i położenia pestki!) wychodzi po drugiej stronie. A ponieważ jest genialny, stwierdza: "Istnieje trzeci wymiar, a w nim całkiem nowa geodetyka".

Tyle, jeżeli chodzi o geometrię Brzoskwini. My, bryłowcy, drwimy z problemów Brzoskwinian. Dla tych, którzy czują się zbyt pewni siebie w roli wszechmocnych bryłowców, mam zimny prysznic. Otóż zdajmy sobie najpierw sprawę, jakiego fundamentalnego odkrycia dokonał brzoskwiniowy geniusz - dodatkowy wymiar pozwala jego właścicielom skrócić znacznie odległości. To, co dla jednych jest okręgiem, dla innych jest prostą. A pamiętamy, że według Minkowskiego żyjemy w przestrzeni czterowymiarowej. Tak fantazja stała się nauką - wehikuł czasu znacznie uprościłby komunikację, dalej, aby wyciągnąć płytę kompaktową z pudełka nie trzeba byłoby go otwierać!!! Szokujące, nieprawdaż? To nie koniec - w czterowymiarowej przestrzeni Ziemia porusza się po prostej, a nie po elipsie (biedny Kepler przewraca się w grobie). Słowem, to co niemożliwe w n - wymiarach, jest normalne w wymiarze n + 1. Dlatego też teoretycy uciekają się do przestrzeni wielowymiarowych, bo tam wszystko jest proste.

Na tym pragnę zakończyć. Jak widać, zrozumienie mechanizmów rządzących światem wymaga potężnej dawki matematyki i rozwiniętej wyobraźni. Należy pamiętać, że teoria Einsteina jest tylko uogólnieniem mechaniki Newtona. Drugi składnik równania - mechanika kwantów - niesie ze sobą więcej niespodzianek, np.: nie można wykluczyć, że cząstka znajduje się w dwóch miejscach jednocześnie!. Przeciwko tego rodzaju faktom ostro protestował Einstein mówiąc: "Bóg nie gra w kości". Dziś Stephen Hawking stwierdza: "Bóg nie dość, że gra w kości, to jeszcze rzuca je tam, gdzie nikt ich nie widzi". Biedny Einstein.

Sama mechanika Einsteina nie jest pozbawiona znaków zapytania. Wynika to ze wspomnianych nieliniowych równań. Uczeni zadają sobie na przykład pytanie, czy Wszechświat zawsze będzie się rozszerzał, czy też zacznie się kurczyć i zginie w Wielkim Kolapsie, albo co spowodowało "wybuch" Wszechświata?.

Einstein rzekł: "Chcę wiedzieć, jak Bóg stworzył ten świat. Chcę znać Jego myśli, reszta to szczegóły". A więc ten, kto pierwszy poda pełne równanie Wszechświata sprawi, że "poznamy myśli Boga". Kiedy ta nastąpi - tego jeszcze nie wiadomo.